亞歷山大與希臘化文明:西方史的一個黃金時代(13) 希臘化時代的數學成就

 

歐幾里德(Euclid)雕像,19世紀

希臘化時代的數學成就

數學,係科學之母,係用來定義宇宙同世界嘅語言,數學同人類文明嘅進步息息相關。希臘數學嘅發展係從公元前7世紀開始起步,雖然比起美索不達米亞,尤其係巴比倫數學遲左好多個世紀,但希臘人站在前人肩上,好快就會後來居上並且追過巴比倫人嘅成就。

數學嘅英文Mathematics字根亦來自古希臘文μάθημα(máthēma),而到左希臘化時代,數學嘅發展更加可以用爆炸性嘅進步黎形容,並誕生出歐幾里德(Euclid)、阿基米德(Archimedes)以及阿波羅尼奧斯(Apollonius of Perga)等影響後世極其深遠的數學家。

歐幾里德《幾何原本》最早的紙莎草抄本,公元約100年

希臘化時代的第一個偉大數學家係大名鼎鼎嘅歐幾里德(Euclid),亦即《幾何原本》(Elements)的作者,生卒年份不詳,但大約生於公元前4世紀並終於公元前3世紀,佢進行學術研究及創作的主要地點是埃及的亞歷山大城。

根據歷史文獻記載,數學嘅發展係得到托勒密政府嘅官方支持,歐幾里德曾經向托勒密一世私人授課,當被問到學習幾何學的要訣之時,歐幾里德曾回答托勒密「世上沒有通往幾何學的皇室大道」,意思就是學習幾何學並沒有捷徑。

歐幾里德的著作覆蓋幾何(geometry)及數論(number theory),過程中利用嚴謹嘅邏輯為證,為整個歐幾里德幾何奠下基礎。《幾何原本》全書共15卷,當中論述幾何基礎,包括基本定義及公理(axioms)等,如何以點、線建構出直線構成的幾何圖形,亦有論述幾何代數、圓、多邊形、比例及相似,十二面體的建構等,在此後的2,000多年直到現今都成為中學課程數學,尤其係幾何入門嘅基礎。

與此同時,《幾何原本》中詳細研究質數、最大公因數、最小公倍數、平方數、立方數、幾何級數、無理數等議題,為數論嘅發展奠下根基,其影響之廣泛深遠,恕難以在此一短篇介紹文章中通通涵括。

但筆者會介紹一個歐幾里德嘅數論成果,就係公元前4世紀末利用反證法(proof by contradiction)證明質數的數量係無限。歐幾里德先假設有r個質數(即p1=2, p2=3, …如此類推直至pr),以及P=p1*p2*…*pr + 1,而P除p1至pr任何一個質數都會餘1,顯示P係一個p1至pr以外嘅質數,咁就同最初嘅假設,即質數只有有限數量嘅r個相悖,從而證明質數嘅數量應該係無限。

筆者初次接觸呢個證明,係響大學1年級嘅數學堂上面。事實上,《幾何原本》中使用嘅極限(limit)思想,最終將為後來阿基米德所使用嘅窮舉法,甚至多個世紀之後微積分(calculus)嘅數學基礎。

《幾何原本》於成書後的1,900年,明朝末年公元1607年被西方傳教士利馬竇以及徐光啟翻譯成中文傳入中國,成為西學東漸嘅一件里程碑式事件。其實,利馬竇及徐光啟僅翻譯前6卷,後9卷則要等到19世紀中期先完成翻譯。

阿基米德羊皮書手抄本

歐幾里德仍然在世嘅時候,希臘化世界又出左一位極其重要嘅數學家阿基米德(Archimedes)。阿基米德係一位傑出嘅數學家、物理學家、天文學家以及工程師,係古典時代嘅一代鬼才。

佢出生於約公元前287年嘅希臘化殖民地西西里島嘅敘拉古(Syracuse),父親係天文學家,家族同敘拉古王室可能有關係,後來往埃及的亞歷山大城學習並進行教研工作,晚年時回到敘拉古。除左發現浮力呢個舉世聞名嘅物理學成就之外,阿基米德的數學成果同樣卓越,佢嘅《方法論》(Methods)響此後嘅好長時間內都係修習數學的標準教科書之一。

阿基米德利用窮舉法處理拋物線求積、各種立體的表面積及體積嘅求解,成功求出拋物線下闊1個單位的面積為1/3個單位平方,即方程y=x^2從0到1嘅定積分(definite integral,ie. 1^3/3-0^3/3=1/3)。佢亦都響《數沙者》中發明左利用指數表達極大數目的方法,阿基米德所提出的最大數字為[(10^8)^(10^8)]^(10^8),這個數字比同時期其他文明所發明的任何大數還要大。

事實上如果將這個數字寫出,所需的空間將超過已知宇宙的大小,阿基米德以這種記數法推算填滿整個宇宙所使用嘅沙粒數量。此外阿基米德亦利用圓內外兩個96邊多邊形嘅方法,求得圓周率(pi)下限和上限為3.1408及3.14285之間。

阿基米德嘅著作好多已經佚失,但成書於公元10世紀拜占庭,阿基米德手抄本(Archimedes Palimpsest)響20世紀嘅發現為史學界打開左一扇窗,利用現代嘅多光譜嘅影像分析,曾經被擦掉覆寫嘅阿基米德手抄本羊皮書吐出佢隱藏10個世紀嘅秘密,令歷史學家瞭解到亞基米德響數學理論上嘅成就比之前想像嘅走得更前。書中內容顯示阿基米德使用無限切片法求出立體的體積,並同近2,000年後嘅微積分達到相同嘅結果。因此響微積分嘅發展中,或許阿基米德係最前衛、最早有呢個概念嘅人,成果遠遠超過左佢嘅時代。

公元前212年,第二次布匿戰爭中敘拉古遭到羅馬軍隊攻城,雖然軍力懸殊但亞基米德發明的守城器械扭力弩砲及「阿基米德之爪」拖延左羅馬軍兩年,直到城破後亞基米德被羅馬人派兵搜捕,當時他被羅馬士兵打擾時正在研究的數學畫圖法中的圓圈,佢反斥責羅馬士兵「別打擾我的圓圈」,結果被火遮眼嘅羅馬士兵用劍殺死,終年75歲。佢死後羅馬負責圍城戰嘅馬克盧斯亦因佢嘅死感到惋惜萬分,認為世界損失左一位偉大嘅數學家。

阿基米德最終葬左響敘拉古阿格里真托之門附近,墓碑上刻著一個圓柱體內一個相同半徑嘅球體,以及證明球面的表面積是圓柱體表面積嘅2/3,可能呢個係阿基米德生前最引以為傲嘅成就。

圓錐曲線

另一位希臘化時代偉大數學家係阿波羅尼奧斯(Apollonius,公元前262年至190年),佢出生於愛琴海東岸嘅愛奧尼亞,但畢生幾乎都響埃及亞歷山大城度過並完成佢堪稱萬世經典嘅《圓錐曲線論》(conic sections),《圓錐曲線論》全書共八卷,當中只有前七卷流傳落黎,圓錐曲線響後來嘅天文學、物理學同光學得到廣泛應用,筆者大學Year 1時亦都學過關於圓錐曲線嘅皮毛知識。

阿波羅尼奧斯提出利用一個平面切割一個圓錐體,可以得到圓形、橢圓、拋物線以及雙曲線,佢提出左呢d圖形嘅名字,阿波羅尼奧斯係其中一個最早深入研究呢d幾何圖形特點嘅數學家。《圓錐曲線論》頭4卷主要總結前人已經知道嘅成果,後3卷包含大量原創性嘅成果,包括研究交點、定點的法線(normal,即跟平面成垂直嘅三維向量)並由此決定曲率中心,找出曲線嘅漸屈線(Evolute)等等。響希臘化時代,圓錐曲線已經響天文同光學嘅發展中被廣泛應用。

雖然當時人們仍未有質疑行星運行軌跡應為橢圓形而不是圓形,但響果個年代,天文學家已經有利用圓錐曲線解釋行星嘅運行以及將焦點理論應用響拋物面鏡子之中。到左1,800多年後,《圓錐曲線論》亦都成為左克卜勒(Kepler)、牛頓(Issac Newton)、哈雷(Edmond Halley)研究彗星以及行星運行軌跡同周期嘅數學基礎。

此外,公元前2世紀嘅喜帕恰斯(Hipparchus)第一次引進三角函數(trigonometric ratios),被稱之為三角函數之父。

響希臘化時代之後嘅羅馬時代,雖然亞歷山大圖書館因未能從新的統治者處得到托勒密政府般嘅財政支持同重視而逐漸式微,但亞歷山大城到左呢個年代仍然培養左無數優秀嘅數學家,例如最早發現負數平方根問題嘅希羅(Hero of Alexandria)、代數之父丟番圖(Diophantus)、球面三角學之父Menelaus of Alexandria等等。亞歷山大城嘅學術成就,希臘化時代嘅科學精神,一直延續到古典時代晚期才告一段落。

希臘化時代嘅數學發展同古希臘有些許差別,希臘化時代的數學研究受到托勒密王國國家鼎力支持,並對學術研究嘅領域表現出極大嘅包容。講到呢度,可能大家唔知道除左響相對保守嘅中世紀之外,連古希臘都唔一定會包容顛覆性嘅學術成就。

例如公元前約500年的古希臘數學家希帕索斯(Hippasus)發現2的平方根為無理數(irrational number),即不可以兩個整數的比例寫出,結果引發第一次數學危機。希帕索斯嘅下場係被畢達哥拉斯學派嘅門人推落海淹死,顯示出古希臘時代新的學說及理論仍然會面對舊有學術界的排斥及打壓。

但希臘化時代的眾多理論推陳出新,在埃及亞歷山大港呢個學術中心,統治者以及學術界對新嘅理論同研究方向顯示出古代世界罕見嘅寬容,亦都因此為西方數學其中一個黃金時代創造左條件。

而響上述嘅討論中,我哋亦都可以睇到希臘化時代數學成果如何深遠影響古代、近代甚至現代科學。希臘化時代嘅成果,佢嘅應用至今仍隨處可見。