物理學家眼中的美 – 對稱

(圖擷取自:日劇《神探伽利略》)

究竟何謂美呢?這哲學問題某程度上答案因人而異。正所謂「情人眼裡出西施」,「鹹魚青菜各有所愛」,當「騎呢」、重口味的大媽街舞也能盛行及得人欣賞,你便知道美學沒有一個絕對的客觀標準了(好像是)⋯那「理性為主,不重感情」* 的物理學家對美的本質又有甚麼看法呢?究竟(理論)物理學家是如何欣賞自然世界的美,評價一個理論美與否呢?

物理學家眼中的美學準則 – 對稱的美(網上圖片)

*這其實只是普通人的刻板印象與偏見。科學家/物理學家也是人,大部分也不像電影或小說所描寫般麻目不仁、沒感情,一切以理性為先的怪人
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雖然在哲學層面上,美學或許沒有絕對的準則,但每個人至少也有自己的一套看法,那物理學家們呢?每當你聽到(理論)物理學家評論或讚賞一個理論「很美」時,究竟他們是在用甚麼準則,出於甚麼原因這麼認為的呢?難道與找男/女朋友一樣,只憑感覺,是否合眼緣而已?

當然不是啦!(理論)物理學家不是港共官員,大部分沒深造過語言偽術,不會「搬龍門」。他們評價物理理論及自然世界時,有以下的一套嚴謹的美學準則—簡單(simple)及對稱性 (symmetry)。這裡說的簡單,不是單純指愈容易理解,涉及愈少複雜的數學公式/理論便愈好。(理論)物理學追求的是在盡可能簡單、最少假設的情況下,盡可能解釋自然世界最多現象的一套理論。而最終極致目標當然就是能夠解釋到物理世界一切的萬有理論(theory of everything )。正如愛因斯坦所說(好像是[1])

Everything should be made as simple as possible, but not simpler.– Albert Einstein

至於對物理學家來說,怎樣才算盡可能簡單,背後其實涉及貝氏統計學理論,而且某程度屬哲學問題,下次有機會再詳細談。今次小弟想和大家討論一下後者,即是對稱性。

(網上圖片)https://www.onlinemathlearning.com/congruent-symmetry.html

甚麼是對稱性?

大家小學上數學堂時,應該也接觸過對稱這概念。好像一個左右對稱#/旋轉對稱的幾何圖形,我們只需要研究它們的某一部分,然後根據其對稱性,便可以推論出它們整體的結構及特性,如面積或周界等。在數學上,對稱是與群論(group theory)有關的。對幾何對稱圖形做鏡射,左右互換#或旋轉這些對稱操作,就等同對群(group)進行某種群作用(group transformation)。

#在現實物理學世界,左與右其實是有分別的。有關左與右的物理學,遲些有機會再詳細談

對稱性的種類

在數學和物理學中,對稱性簡單可以分為兩種:連續對稱(continuous symmetry)和散離對稱(discrete symmetry)。圓形/球體就是最簡單擁有連續對稱性的形狀;而正方形的對稱性則屬散離,將它旋轉的話,要每隔90度,外觀才會變回一模一樣。我們身處的自然世界,現實中的物理系統,其實也存在著很多很多、林林總總不同的對稱性。觀察及研究時考慮對稱性,很多時候還可以將複雜的物理系統簡化,省卻繁複的運算、實驗及推論過程。例子如計算拋物線運動:在重力及外在環境條件不變的情況下,我們可以透過系統方程的對稱性,直接推導出物件在往上跟往下運行時,其過程是相類似的。因此運行同樣距離時,兩者所需的時間應為一樣。

(credits: Saturday Morning Breakfast Cereal, SMBC。PS:這招對小弟不大起作用的,好像是) https://www.smbc-comics.com/comic/2013-03-17

在物理學中,對稱性還會劃分為局部對稱性(local symmetry)和整體對稱性(global symmetry)。另外理論物理學中還有一種對稱性叫規範對稱性(gauge symmetry)。規範對稱性與上面提及,如旋轉對稱等的對稱性不同。它並不是「真實存在」的,所反映的其實是物理學家表述物理系統時,數學模型所需,但多出來的冗餘性。

規範對稱性

經典例子就如廣義相對論中,系統的時空座標般。比喻的話,就好像在生活或經濟上,表述一件物件的實際價值時,我們常會用銀碼標示。在不同貨幣下,所標示的銀碼數字或許不同,但它們所表述的還是同一東西,其價值不會因選用貨幣的不同而出現改變。在物理學上,這種基於表述而出現的不變、對稱性便是規範對稱性。

對稱性除了可以簡化運算,幫助更簡潔地描述物理系統外,在物理學上它還有更深層的意義。對稱性其實還可以說是自然物理世界根本結構的圖則,神/造物者(假使真的存在)也是根據這些圖則來創造世界罷了!

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守恆定律是世界真理,永遠都對?

大家高中讀物理時,常會遇到一堆守恆定律,好像甚麼能量守恆、動量守恆、角動量守恆等等。可是你又有沒有認真地想過這些定律是怎麼來?會不會覺得這些守恆定律沒甚麼深層物理意義,只是一堆透過實驗與經驗累積所得的定理?會不會認為它們好像動畫世界中的「等價交換」,「一即是全,全即是一」般,是永恆不變的真理?如果你真的這樣想便錯了!每一條守恆定律的背後,其實也對應著系統本身的一種連續對稱性$,而且不是永恆是對的。這是諾特定理(Noether’s theorem),理論物理學上世紀其中一項最重要及影響深遠的發現。具體學術一點的說法,諾特定理指的是:

|每個局部作用下的可微分對稱性(differentiable symmetry)都存在著一個相對應的守恆定律。

$緊記必須為連續的可微分對稱性,必須為連續的可微分對稱性,必須為連續的可微分對稱性。因為很重要所以要說三遍。

(credits: Google https://www.google.com/doodles/emmy-noethers-133rd-birthday)

發現及完整證明這個定理的,是較少大眾認識和提及,但連愛因斯坦等一眾著名物理學家和數學家也欣賞,並歌頌她為數學史上最重要的一位女仕—理論物理及數學家諾特(Emmy Noether)[2]。

(credits: JFT & ARJ) http://fromsciencetoinfinityandbeyond.blogspot.com/2017/07/symmetries-and-conservation-laws-key.html

諾特定理的例子

根據諾特定理,動量守恆(momentum conservation)其實是物理系統在3維空間,存在著平移對稱性的結果;而能量守恆(energy conservation)則是時間軸上存在著平移對稱性的結果。空間/時間平移對稱(spatial/time translational symmetry)是指同一個情況或實驗,放在地點與時間(x,t)看/做,跟把它們放在平移了的另一點(x+a, t+b)是沒分別的。這裡a和b是任何常數。同一原理,角動量守恆(angular momentum conservation),它背後對應的則是物理系統的旋轉對稱性(rotational symmetry)。

違反守恆定律的例子

諾特定理顛覆了物理學家對守恆定律一直以來的看法,守恆定律其實並不是根本、永恆不變的真理。即使是大家日常生活習以為常,以為永遠都對的守恆定律,在系統相對應的對稱性被破壞的那一刻,它們亦會同時失效。就如在浩瀚的宇宙,宇宙膨脹所導致的宇宙紅移(cosmological redshift)本身就是違反能量守恆的經典例子。出現這結果是因為用於描述宇宙演化背後的廣義相對論,摒棄了自牛頓甚至更久遠之前,物理學家一直信奉的絕對時空概念。理論所描述的3+1時空不再是獨立存在、永恆不變,而是會根據物質能量的分佈隨時間演化。既然時空不再是獨立存在及永恆不變,有不存在時間平移對稱性的可能,那很自然廣義相對論會推導出宇宙膨脹,宇宙整體能量不守恆的結果。

詳細有關對稱性及諾特定理的解說可以看以下《PBS Space Time》短片(英文):

今次說到這裡,下回再談。

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延伸閱讀:

[1] https://quoteinvestigator.com/2011/05/13/einstein-simple/

[2] 《【女科學家】舞動於代數之美的數學家──埃米·諾特》,王鈺雯著,諾特生平介紹

https://case.ntu.edu.tw/blog/?p=27254

[3] 《對稱與物理》,科學月刊2010年3月份,賴昭正著

http://gclie.users.sonic.net/gclie/sym-phys.pdf

[4] 《What is Symmetry in Physics? With Tara Shears》by The Royal Institution

http://thekidshouldseethis.com/post/what-is-symmetry-in-physics