究竟何謂美呢？這哲學問題某程度上答案因人而異。正所謂「情人眼裡出西施」，「鹹魚青菜各有所愛」，當「騎呢」、重口味的大媽街舞也能盛行及得人欣賞，你便知道美學沒有一個絕對的客觀標準了（好像是）⋯那「理性為主，不重感情」* 的物理學家對美的本質又有甚麼看法呢？究竟（理論）物理學家是如何欣賞自然世界的美，評價一個理論美與否呢？
*這其實只是普通人的刻板印象與偏見。科學家/物理學家也是人，大部分也不像電影或小說所描寫般麻目不仁、沒感情，一切以理性為先的怪人
——————————————————————————————————————————
雖然在哲學層面上，美學或許沒有絕對的準則，但每個人至少也有自己的一套看法，那物理學家們呢？每當你聽到（理論）物理學家評論或讚賞一個理論「很美」時，究竟他們是在用甚麼準則，出於甚麼原因這麼認為的呢？難道與找男/女朋友一樣，只憑感覺，是否合眼緣而已？
當然不是啦！（理論）物理學家不是港共官員，大部分沒深造過語言偽術，不會「搬龍門」。他們評價物理理論及自然世界時，有以下的一套嚴謹的美學準則—簡單（simple）及對稱性 (symmetry)。這裡說的簡單，不是單純指愈容易理解，涉及愈少複雜的數學公式/理論便愈好。（理論）物理學追求的是在盡可能簡單、最少假設的情況下，盡可能解釋自然世界最多現象的一套理論。而最終極致目標當然就是能夠解釋到物理世界一切的萬有理論（theory of everything ）。正如愛因斯坦所說（好像是[1]）
｜“Everything should be made as simple as possible, but not simpler.” – Albert Einstein
至於對物理學家來說，怎樣才算盡可能簡單，背後其實涉及貝氏統計學理論，而且某程度屬哲學問題，下次有機會再詳細談。今次小弟想和大家討論一下後者，即是對稱性。
甚麼是對稱性？
大家小學上數學堂時，應該也接觸過對稱這概念。好像一個左右對稱#/旋轉對稱的幾何圖形，我們只需要研究它們的某一部分，然後根據其對稱性，便可以推論出它們整體的結構及特性，如面積或周界等。在數學上，對稱是與群論（group theory）有關的。對幾何對稱圖形做鏡射，左右互換#或旋轉這些對稱操作，就等同對群（group）進行某種群作用（group transformation）。
#在現實物理學世界，左與右其實是有分別的。有關左與右的物理學，遲些有機會再詳細談
對稱性的種類
在數學和物理學中，對稱性簡單可以分為兩種：連續對稱（continuous symmetry）和散離對稱（discrete symmetry）。圓形/球體就是最簡單擁有連續對稱性的形狀；而正方形的對稱性則屬散離，將它旋轉的話，要每隔90度，外觀才會變回一模一樣。我們身處的自然世界，現實中的物理系統，其實也存在著很多很多、林林總總不同的對稱性。觀察及研究時考慮對稱性，很多時候還可以將複雜的物理系統簡化，省卻繁複的運算、實驗及推論過程。例子如計算拋物線運動：在重力及外在環境條件不變的情況下，我們可以透過系統方程的對稱性，直接推導出物件在往上跟往下運行時，其過程是相類似的。因此運行同樣距離時，兩者所需的時間應為一樣。
在物理學中，對稱性還會劃分為局部對稱性（local symmetry）和整體對稱性（global symmetry）。另外理論物理學中還有一種對稱性叫規範對稱性（gauge symmetry）。規範對稱性與上面提及，如旋轉對稱等的對稱性不同。它並不是「真實存在」的，所反映的其實是物理學家表述物理系統時，數學模型所需，但多出來的冗餘性。
規範對稱性
經典例子就如廣義相對論中，系統的時空座標般。比喻的話，就好像在生活或經濟上，表述一件物件的實際價值時，我們常會用銀碼標示。在不同貨幣下，所標示的銀碼數字或許不同，但它們所表述的還是同一東西，其價值不會因選用貨幣的不同而出現改變。在物理學上，這種基於表述而出現的不變、對稱性便是規範對稱性。
對稱性除了可以簡化運算，幫助更簡潔地描述物理系統外，在物理學上它還有更深層的意義。對稱性其實還可以說是自然物理世界根本結構的圖則，神/造物者（假使真的存在）也是根據這些圖則來創造世界罷了！
———————————————————————————————————————————
守恆定律是世界真理，永遠都對？
大家高中讀物理時，常會遇到一堆守恆定律，好像甚麼能量守恆、動量守恆、角動量守恆等等。可是你又有沒有認真地想過這些定律是怎麼來？會不會覺得這些守恆定律沒甚麼深層物理意義，只是一堆透過實驗與經驗累積所得的定理？會不會認為它們好像動畫世界中的「等價交換」，「一即是全，全即是一」般，是永恆不變的真理？如果你真的這樣想便錯了！每一條守恆定律的背後，其實也對應著系統本身的一種連續對稱性$，而且不是永恆是對的。這是諾特定理（Noether’s theorem），理論物理學上世紀其中一項最重要及影響深遠的發現。具體學術一點的說法，諾特定理指的是：
｜每個局部作用下的可微分對稱性（differentiable symmetry）都存在著一個相對應的守恆定律。
$緊記必須為連續的可微分對稱性，必須為連續的可微分對稱性，必須為連續的可微分對稱性。因為很重要所以要說三遍。
發現及完整證明這個定理的，是較少大眾認識和提及，但連愛因斯坦等一眾著名物理學家和數學家也欣賞，並歌頌她為數學史上最重要的一位女仕—理論物理及數學家諾特（Emmy Noether)[2]。
諾特定理的例子
根據諾特定理，動量守恆（momentum conservation）其實是物理系統在3維空間，存在著平移對稱性的結果；而能量守恆（energy conservation）則是時間軸上存在著平移對稱性的結果。空間/時間平移對稱（spatial/time translational symmetry）是指同一個情況或實驗，放在地點與時間（x,t）看/做，跟把它們放在平移了的另一點（x+a, t+b）是沒分別的。這裡a和b是任何常數。同一原理，角動量守恆（angular momentum conservation），它背後對應的則是物理系統的旋轉對稱性（rotational symmetry）。
違反守恆定律的例子
諾特定理顛覆了物理學家對守恆定律一直以來的看法，守恆定律其實並不是根本、永恆不變的真理。即使是大家日常生活習以為常，以為永遠都對的守恆定律，在系統相對應的對稱性被破壞的那一刻，它們亦會同時失效。就如在浩瀚的宇宙，宇宙膨脹所導致的宇宙紅移（cosmological redshift）本身就是違反能量守恆的經典例子。出現這結果是因為用於描述宇宙演化背後的廣義相對論，摒棄了自牛頓甚至更久遠之前，物理學家一直信奉的絕對時空概念。理論所描述的3+1時空不再是獨立存在、永恆不變，而是會根據物質能量的分佈隨時間演化。既然時空不再是獨立存在及永恆不變，有不存在時間平移對稱性的可能，那很自然廣義相對論會推導出宇宙膨脹，宇宙整體能量不守恆的結果。
詳細有關對稱性及諾特定理的解說可以看以下《PBS Space Time》短片（英文）：
今次說到這裡，下回再談。
———————————————————————————————————————————-
延伸閱讀：
[1] http://quoteinvestigator.com/2011/05/13/einstein-simple/
[2] 《【女科學家】舞動於代數之美的數學家──埃米·諾特》，王鈺雯著，諾特生平介紹
http://case.ntu.edu.tw/blog/?p=27254
[3] 《對稱與物理》，科學月刊2010年3月份，賴昭正著
http://gclie.users.sonic.net/gclie/sym-phys.pdf
[4] 《What is Symmetry in Physics? With Tara Shears》by The Royal Institution
http://thekidshouldseethis.com/post/what-is-symmetry-in-physics
生於香港，有幸在劍橋待過一個寒暑，閒時研究物理／宇宙學，憂心香港未來的「業餘足球員」，曾經夢想成為另一個湯川教授。英國劍橋大學數學系碩士、英國諾定咸大學博士，曾為南韓APCTP博士後研究員，主修宇宙學。
小弟的blog：
http://godfreyleungcosmo.wordpress.com/ 以及
http://medium.com/@godfrey.leung.cosmo