人類對「數量」的認知,都是需要長時間才能對幾個重要概念慢慢理解。譬如「零」這個數學概念,早於四千年前,古巴比倫人就已經初步掌握;但是以零作為單獨的一個數字,用於運算和對數學定理的解釋,卻是二千多年後,遲至一千四百年前在古印度才建立起來。至於所謂「無限」,則一向諱莫如深,古代數學家對此概念避之則吉,認為無限大概是哲學概念多於數學概念;到了十八世紀,微積分的理論建構過程令數學家不得不再次面對無限這個燙手山芋;轉轉折折,最後要再過一百多年,在十九世紀末,無限這個概念的邏輯架構,才成功建立起來。

所謂無限,最普遍的理解應該是「無限大」;如果以數字的方向去想,會是把「1,2,3,……」數下去,一直數到無限。古希臘哲學家亞里士多德並不覺得無限因此存在,這只表示了無限的「潛力」(potential infinity);理由是無論一直數下去的數字有多大,那個數字仍然是有限大,並不會是真正的無限。數學家在過後的一千多年基本上把無限這個概念擱在一旁,沒有深入研究。直到1874年,德國數學家Georg Cantor創建了「集合論」(Set Theory),把人類對無限的概念推向一個新的認知。

Cantor作出第一個重要定義,就是如何比較兩個「集合」的成員數目的多少。以人口數目為例,香港人比較多還是中國人比較多?這條問題容易作答,因為地區人口的數量有限,香港七百萬人,中國十三億人,那自然是中國比香港人多了。不過,假若相比較的集合,成員數目都是無限,又如何作比較呢?譬如單數1,3,5,7,9,……和雙數2,4,6,8,10,……這兩組數字,都是無限的多;我們直覺可能認為,這兩組數字是一樣的多吧,不過那只是直覺,沒有什麼憑證。Cantor就提供了一個方法,用來比較兩個集合的多少:把集合A的成員和集合B的成員一一對應,哪個集合有成員沒有另一個集合的相關對應,那個集合的成員就比較多。這個定義用來比較數目有限的集合,簡單易明;譬如香港的七百萬人,和中國其中七百萬人一一對應之後,中國還剩下十二億九千三百萬人,那麼中國是人比較多了。

把這個比較定義引用在無限的集合,道理其實一樣。單數的1,3,5,7,9,一一對應雙數的2,4,6,8,10;而這種一一對應,可以一直伸延至任何單數和雙數:無論單數的集合拿出一個怎樣大的單數,也會有一個雙數,可以和這個單數對應(就是單數加上一)。所以,以Cantor的定義,單數和雙數是一樣多了,結果和我們的直覺相吻合。

那麼,從3開始的單數集(3,5,7,9,11,……),會比從2開始的雙數集(2,4,6,8,10,……),數目少一個嗎?我們有這個「感覺」,是因為如果從1開始的單數集,已經證明了和從2開始的雙數集相比,兩個集的每個成員可以相互一一對應,所以數目一樣;從3開始的單數集,比從1開始的單數集,少了1這個成員,那麼(3,5,7,9,11,……)這個集比(2,4,6,8,10,……)這個集少一個成員也就顯得「理所當然」了吧?誰不知,今次的直覺是錯了。我們必須從比較兩個集的定義入手,亦即看看兩個集的成員能否相互一一對應。原來,從3開始的單數集,每一個數字,只要減一,就是在雙數集中相互對應的數字(3對2,5對4,7對6,……);所以根據比較兩個集的定義,從3開始的單數集和從2開始的雙數集,數目是一樣的多了。

數學家以同一邏輯推演,得出以下有趣的結果:

1. 從1開始的單數集,和從3開始的單數集,和雙數集,和正整數集(1,2,3,4,5,……),數目一樣多;這一種無限集,叫「可數」(Countable)無限集;

2. 任何一條線,無論長短,線上的點的總數,都比整數集的數目為多;這表示「無限」也有不同「層次」,有一些無限比另一些無限大;

3. 無限的「層次」,原來也是無限;我們除了可以說一條線上的點比整數為多,還可以找到另一個集合,成員數目比線上的點為多;而我們可以不斷重複這個步驟,不斷找到「更無限」的集合;這可說是天外有天,無窮無盡;或者可以說是「沒有最無限、只有更無限」;

4. 利用同一邏輯,可以推斷出一個實心的球體,可以分解並重新組合成兩個一模一樣的球體!(Banach–Tarski Paradox)

這樣的結果奇怪嗎?不少數學家當時對這個有關無限的邏輯系統不屑一顧;不過,Cantor的集合論得到不少數學家的研究和微調,在二十世紀初改良成為ZF集合論,此理論亦奠定了現代數學的根基。可是到了二十一世紀,仍然有一派數學家認為Cantor的集合論是玩弄「無限」這個概念的邏輯遊戲,和現實世界並無關連;他們傾向相信二千多年前亞里士多德的說法,「無限」只是一種「潛力」,在現實世界並不真正存在。誰是誰非?可能要再過百年甚至千年,我們才會得到答案。