上文【複雜的賽制,意外地成為假波溫床】,主要討論歐洲國家盃外圍賽的複雜賽制,兩隊成績最差的球隊在最後一輪對疊,賽果有機會影響哪一隊第三名的球隊能夠直接出線。筆者加了一句:「其實如果F組匈牙利不輸給希臘再加上一連串其他賽果,土耳其打和冰島還有機會直接出線,不過機會近於零,所以無謂多講。」想深一層,其實這是一個訓練數學邏輯推理的絕佳應用題,絕對應該多講。

舉一個簡單的例子。看世界盃,一組四隊打單循環,最後一輪比賽,A隊對B隊,C隊對D隊,如果四隊都仍然有機會出線,那麼要計算四隊出線的可能,在腦裡想來想去可能會想漏一些情況,所以最好利用邏輯學上的Truth Table的方法,把所有可能的結果全部寫出來,如下:

A對B|C對D
————
A勝 | C勝
打和 | C勝
B勝 | C勝
A勝 | 打和
打和 | 打和
B勝 | 打和
A勝 | D勝
打和 | D勝
B勝 | D勝

每場比場有3個可能(一方面得勝、打和、或另一方得勝),所以2場比賽合共有(3 X 3)= 9個可能。把以上的可能全部羅列出來的時候,注意要弄得「整齊」,才不會漏了一些可能、或者把一些可能重覆列了兩次。我們知道總共有9個可能,所以便可以把A勝、打和、B勝這3個可能連續寫3次;再把C對D那一列的可能,C勝連續寫3次、打和連續寫3次、D勝再連續寫3次,那麼2場比賽的所有結果組合,便會全部羅列出來。當然只羅列勝和負的三個可能很多時候並不足夠,還要加入勝多少球的可能;但是基本原理沒有變,如果要分開A勝3球或以上、A勝3球以下這兩個可能的結果,那麼列表便會有(4 X 3)= 12個可能了。

足球比賽的小組賽,勝方得3分,和波各得1分,負方0分;球隊如果出現同分,要比較他們的名次,世界足協的辦法是計算得失球差,再計得球總數;歐洲足協的辦法是計算同分球隊的對賽成績,把兩隊或以上同分的球隊抽出來,比較它們相互比賽的得分和得失球。今次歐洲國家盃外圍賽複雜的地方,在於9組中有一組只有5隊球隊,其他8組有6隊;每組頭兩名直接出線,而9組中最好成績的第三名球隊,也可以直接出線。因為有一組只有5隊,所以要比較每組第三名球隊的成績,便唯有把8組有6隊球隊的第三名球隊,與該組包尾第六名球隊的兩場比賽扣除,令比較時每隊第三名球隊的比賽數目相同。

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圖一:A組在最後一輪比賽前的排名

香港的荷蘭球迷,最關心的應該是荷蘭隊還有沒有機會出線。因為只要能夠保住小組第三名便仍然有機會打附加賽出線,所以一看以上的積分表,把勝負的可能在腦裡想想,就可以得出荷蘭最後一場必須取勝得3分,而土耳其必須輸波1分也拿不到,荷蘭才可以保住小組第三名。土耳其與荷蘭的對賽成績是一勝一和,所以如果最後一場賽事,荷蘭得3分而土耳其得1分令兩隊同分,仍然是土耳其得第三,荷蘭出局。這個推理比較簡單,所以不用把所有的可能寫下來才能推算出來;然而,如果寫程式由電腦推算,程式的邏輯編寫方法,不可能像人腦般一看就明白只需要理會荷蘭和土耳其的比賽,程式編寫時仍然需要把所有可能的結果如以上的Truth Table般羅列出來,再逐個結果檢視荷蘭出線的可能。

好了,假設荷蘭能夠取得小組第三名了,下一個荷蘭球迷的問題會是:荷蘭還有機會成為9隊第三名球隊最好成績的一隊而直接出線嗎?要解答這個問題,就要把9組可能成為第三名的球隊,餘下的比賽都兼顧了。如果用Truth Table列出所有的可能,因為餘下有(8組 X 3場 + 1組 X 2場) = 26場比賽,每場比賽有勝和負3個可能,所以總共有(3 X 3 X … X 3 ) ,乘 26 次之多,大約等如25400億的一個天文數字,用電腦處理也需要一定的技巧,用人腦當然是沒有可能在心裡把所有可能一一列出了。

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圖二:每組第三名球隊在最後一輪比賽前的排名

要解決這種問題,我們唯為利用推理的方法了。荷蘭如果可以獲得小組第三名,則必須贏得最後一場比賽,得16分;無論小組包尾的球隊是哈薩克又好,拉脫維亞也好,沒有關係,因為荷蘭在他們兩隊身上全勝(見圖一右邊的對賽成績);所以荷蘭在第三名球隊比較的排行榜上,會有16 – 6 = 10分。10分有可能成為榜上成績最好的球隊嗎?圖二是每組第三名球隊在最後一輪比賽前的排行榜,有7隊有10分以上。荷蘭最後就只可能有10分,這表示荷蘭沒有可能成為最好成績的第三名嗎?這樣想就錯了。

有興趣可以先看看文末(圖三)的每組積分表,自己計算一下最後一輪比賽的「二萬億個可能」(積分表太長,所以放在文末方便些)。

第三名球隊排名表(圖二)的誤導之處有二:第一、這些球隊不一定在最後一輪比賽之後仍然是小組第三名!這個不難明白,不過容易忽略;第二、取而代之的同組球隊,得分可以比圖二列出的同組球隊得分多,也可以少。為什麼呢?因為最後得到第三名的球隊,與小組包尾球隊的對賽成績,和圖二同組的球隊不同,所以他們需要扣的分可以比較多,也可以比較少;況且,小組包尾的球隊要等到最後一輪比賽後才塵埃落定,和圖二所用來扣分的包尾球隊可能有變。

不過,既然我們知道荷蘭只可能有10分,那麼,如果我們找到有一個小組的頭三名隊伍,都已經有17分或以上,在他們身上扣兩場和包尾球隊比賽的最高得分6分,他們仍然會有最少11分,會比荷蘭的10分高。C組、D組、H組、I組都符合以上的條件,第三名球隊都已經有17分或以上。所以,憑此邏輯推理,荷蘭是沒有可能奪得最好成績的第三名球隊而直接出線了。

最後解答一下文章第一段那個「機會近於零」的可能。土耳其賽和冰島,如何可以仍然以最好成績的第三名球隊直接出線?(圖三下方有其中一個可能的答案)

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圖三:在最後一輪比賽前的排名表;右方是對賽比數和最後一場的對賽日期

土耳其賽和冰島,在什麼情況下仍然能夠以第三名最好成績的球隊出線歐洲國家盃?

答案:

A組:哈薩克勝拉脫維亞,拉脫維亞小組包尾;土耳其打和冰島,得小組第三;扣除與拉脫維亞的比賽,得14分;

B組:賽果不構成任何影響,小組第三名球隊(波斯尼亞或以色列或塞浦路斯)扣除與包尾球隊(安道拉)的比賽,不可能得多過13分;

C組:烏克蘭輸給西班牙,得小組第三名;扣除與包尾球隊(盧森堡或馬其頓)的比賽,得13分;

D組:賽果不構成任何影響,小組第三名球隊(波蘭或愛爾蘭或德國)扣除與包尾球隊(直布羅陀)的比賽,不可能得多過13分;

E組:賽果不構成任何影響,小組第三名球隊(斯洛文尼亞或愛沙尼亞)扣除與包尾球隊(聖馬力諾)的比賽,不可能得多過13分;

F組:羅馬尼亞輸給法羅群島,匈牙利至少打和希臘;羅馬尼亞得小組第三名,扣除與小組包尾希臘的比賽,得13分;

G組:瑞典擊敗摩爾多瓦,俄羅斯輸給黑山;俄羅斯得小組第三名,扣除與小組包尾摩爾多瓦的比賽,得13分;

H組:克羅地亞擊敗馬爾他,挪威輸給意大利;挪威得小組第三名,扣除與小組包尾馬爾他的比賽,得13分;

I組:只有5隊球隊;賽果不構成任何影響,小組第三名球隊(丹麥或阿爾巴尼亞)不可能得多過12分;

不知道如上述所列出這9場比賽發生結果,機會率會是多少?應該很接近零吧?不過,更加神奇的是,就算土耳其輸了給冰島,如果荷蘭不能擊敗捷克,土耳其仍然有機會以13分和較佳的得失球率取得最佳第三名球隊的出線資格!最緊要哈薩克要贏拉脫維亞哦。